Algebra by Prof. Dr. Siegfried Bosch (auth.)

By Prof. Dr. Siegfried Bosch (auth.)

Eine verst?ndliche, konzise und immer fl?ssige Einf?hrung in die Algebra, die insbesondere durch ihre sorgf?ltige didaktische Aufbereitung bei vielen Studenten Freunde finden wird. Die vorliegende ?berarbeitete und erweiterte dritte Auflage bietet neben zahlreichen Aufgaben (mit L?sungshinweisen) sowie einf?hrenden und motivierenden Vorbemerkungen auch Ausblicke auf neuere Entwicklungen. Auch selten im Lehrbuch behandelte Themen wie Resultanten, Diskriminanten und symmetrische Funktionen werden angesprochen. Neu hinzugekommen sind zwei Abschnitte ?ber Kummer-Theorie, einschlie?lich einer Einf?hrung in den Kalk?l der Witt-Vektoren, und eine Herleitung der Formeln zur Aufl?sung algebraischer Gleichungen dritten und vierten Grades. Ein klares, modernes und inhaltsreiches Lehrbuch, das sicherlich bald jedem Algebrastudenten unentbehrlich sein wird.

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Ist R ein Ring und S c Reine Teilmenge, so nennt man Seinen Unterring von R, wenn S bezüglich der Addition eine Untergruppe· sowie bezüglich der Multiplikation ein Untermonoid von R ist. Insbesondere ist S mit den von R induzierten Verknüpfungen selbst wieder ein Ring. Man nennt das Paar Sc R auch eine Ringerweiterung. 1 Wir gehen in diesem Abschnitt zwar auf einige Notationen und Beispiele für nichtkommutative Ringe ein, werden ansonsten aber, wenn nichts anderes gesagt ist, unter einem Ring stets einen kommutativen Ring verstehen.

Hierzu dürfen wir annehmen, daß x und y keine Einheiten sind. Seien x = Xl ... Xr , Y = YI ... Ys Zerlegungen in irreduzible Elemente gemäß (i). Dann folgt a I (Xl ... XrYI ... eduzibles Element zu einem Xi oder einem Yj assoziiert ist. Daher gilt a IX oder al y, und a ist Primelement. Mit dieser Überlegung ist die Implikation von (i) nach (ii) unmittelbar klar. Die Umkehrung folgt mit Lemma 9, da eine Zerlegung in Primelemente nach Bemerkung 5 insbesondere eine Zerlegung in irreduzible Elemente ist.

Und ZlmZ sind bis auf Isomorphie die einzigen zyklischen Gruppen. 3 Zyklische Gruppen 21 Zum Beweis des Satzes genügt es, wie wir gesehen haben, folgendes Lemma bereitzustellen: c Z Untergruppe. Dann existiert ein mEZ mit H Insbesondere ist jede Untergruppe von Z zyklisch. Lemma 4. Sei H = mZ. Beweis. Wir dürfen H#-O annehmen, wobei 0 die nur aus dem Nullelement bestehende Untergruppe von Z bezeichne. Dann gibt es in H positive Elemente; es sei m das kleinste positive Element von H. Wir behaupten H = mZ.

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