Analyse fonctionnelle et théorie des opérateurs : Rappels de by Hervé Queffélec, Mostafa Mbekhta, Josette Charles

By Hervé Queffélec, Mostafa Mbekhta, Josette Charles

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2 P8. 2) est un opérateur compact, A ≤ K 2. 2), A∗ est un opérateur de Hilbert-Schmidt de noyau K∗ (x, y) = K(y, x). 3 Noyau d’un produit d’opérateurs A1 , A2 de Hilbert-Schmidt de noyaux respectifs K1 , K2 , alors A = A1 A2 est de même nature, et son b noyau est K(x, y) = a K1 (x, u)K2 (u, y)du. 4 Opérateurs auto-adjoints à noyau Pour A de Hilbert-Schmidt, Décomposition Hilbert-Schmidt d’un noyau A de Hilbert-Schmidt, A normal, (λn , n ∈ N∗ (ou famille finie)), valeurs propres non nulles comptées selon leur multiplicité, (en ) système orthonormé de vecteurs propres associés, alors c Dunod.

Il est évident (une fois qu’on aura vérifié les axiomes de norme) que T : Eω → E est une isométrie surjective d’inverse T −1 donné par T −1 (g) = ω1 g. De plus, les sous-espaces considérés se correspondent par cette isométrie : T (E) = Eω , T (F) = Fω , T (G) = Gω , T (H) = Hω . Si donc on sait faire le travail pour le poids ω = 1, on l’aura fait automatiquement pour un poids quelconque. C’est pourquoi nous supposerons sans perte de généralité que nous travaillons avec l’espace E et ses sous-espaces F, G, H, même si l’on rencontre « en pratique » (espaces de Bergman, de Dirichlet) des cas où ω 1.

N+1) n SA (λ) = (λe − a)−1 = ∞ a . 8 Fonction de a, f(a), Ω(a) A algèbre de Banach, a ∈ A, Ω ouvert de C, Ω ⊇ σ(a), Γ courbe de Jordan d’intérieur Δ, σ(a) ⊆ Δ ⊂ Δ ⊂ Ω, et f : Ω → C analytique. Alors : 1 f(a) = 2iπ f(λ)(λe − a)−1 dλ (intégrale de Riemann Γ vectorielle), et Ω(a) = {f(a) ; f analytique : Ω → C}. 9 C -algèbre A, adjoint de a, a∗ A algèbre de Banach munie d’une involution, opération interne {a → a∗ } vérifiant (a + b)∗ = a∗ + b∗ , (λa)∗ = λa∗ , (ab)∗ = b∗ a∗ , (a∗ )∗ = a, a∗ a = a 2 .

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